解偏微分方程百科全书,偏微分方程入门选择哪些教材比较好

解偏微分方程百科全书，偏微分方程入门选择哪些教材比较好？

我们当时使用的教材是齐民友的《广义函数与数学物理方程》，书中讲了些广义函数对偏微分方程的用处。但个人觉得书太薄，缺了很多基础内容，而且有点语焉不详，只适合当参考书，不适合做教材。

初学的话，可以先看看北大周蜀林的《偏微分方程》，不是说这本书写得有多好，而是这本书比较基础，对于偏微分方程的基础内容方方面面都有涉及到，像三大基本方程(位势方程，热方程，波动方程)的基础理论，这些就写得比较全。课后习题比较多，很多的题还是值得一做。初学看一下的话还是不错。但毛病和其他大多数国产数学教材一样，内容东拼西凑，逻辑性，连贯性都不够。

偏微分方程的入门教材，还是首推Evans的名著《Partial Differential Equations》，可以说国内很多入门教材都能看到这本书的影子。此书由浅入深，所涉及的内容包含了偏微分方程的很多方面，而且语言也组织得很好，读起来也不至于不知所云，不愧为大师之作。“入门”并不意味它就简单，其内容远远超过本科生的要求范围，而且篇幅也比较大，读到研究生可能才有能力看完，入门的话其实看前几章就行了。

另外谷超豪，李大潜老师的《数学物理方程》也是入门的好教材，尤其是对非数学专业的同学来说，因为这本教材可能还是比较注意偏微分方程的实际应用。理论性的话就可能要欠缺一些了，书比较薄，很多定理性质都没有详细证明，可能读起来比较费劲，可以结合一下其他书一起看。入门教材就说这么多了，进阶的书就不啰嗦了。

谱方法求解偏微分方程？

就是一个微分公式，看题目的具体条件和要求的量，比喻要位移和时间的关系，就位移对时间偏微分；位移和速度的关系，就位移对速度的偏微分...（为什么要偏微分呢？主要是几个变量的变化是一个函数，不像高中学的匀加速度或只有一个变量）。对这种变量多的情况就只有用偏微分了，否则几个变量一起边的话就没法求了。 积分情况相反，对每个变量分别积分，最后得到总量。

如何求解偏微分方程？

回答如下：求解偏微分方程的方法因方程类型和复杂度不同而异。以下是一些常见的方法：

1. 分离变量法：将未知函数表示为一系列单独的函数的积，然后将其代入偏微分方程中，得到一组常微分方程，然后求解这些常微分方程。

2. 特征线法：将偏微分方程变换为常微分方程，通过沿着特征线积分来求解。

3. 变换法：通过变换未知函数或自变量，将偏微分方程转化为更简单的形式，然后求解。

4. 数值方法：使用计算机算法来近似求解偏微分方程，如有限差分法、有限元法等。

需要注意的是，不同的偏微分方程可能需要不同的方法来求解，并且某些偏微分方程可能无法解析求解，只能通过数值方法来近似求解。

偏微分方程及应用专业的就业方向？

偏微分方程在商业中好像很少有用到的地方，如果是随机为方程还可以在金融市场上有用武之地。听说工程设计，高精密仪器，航天等行业需要这方面的人才从事科研开发。比如化工，环境工程，制造业等等都会有相关的工作类型。

偏微分方程的一般求解过程？

1. 偏微分方程

偏微分方程（Partial Differential Equation，简写为PDE）是未知量包含多个独立变量、方程包含偏微分运算的一类微分方程。

在物理模型中，最常见的情况是：需要求解的未知量含有时间变量(t)和空间变量（视维数变化）。最简单的偏微分方程包括二维稳定问题（只和空间变量x,y有关）和一维传导/波动问题（只和一维空间变量x和时间t有关）。

2. 二阶线性偏微分方程的一般讨论

一般地，任意的二维二阶线性偏微分方程都可以写成如下形式：

a∂2u∂x2+b∂2u∂x∂y+c∂2u∂y2+d∂u∂x+e∂u∂y+fu(x,y)+g(x,y)=0

根据二阶项系数，该类型的偏微分方程可以分为以下形式：

Δ=b2−4ac>0⇒双曲型(hyperbolic)方程，一般描述能量守恒系统

Δ=b2−4ac=0⇒抛物型(parabolic)方程，一般描述耗散系统

Δ=b2−4ac<0⇒椭圆型(elliptic)方程，一般描述稳定状态和系统

常见的经典二阶线性偏微分方程：

1) 波动方程：∂2u∂t2−1a2∇2u=f(x,y,z,t)，一维的波动方程 Δ=1a2>0 属双曲型方程；

2) 热传导方程：∂u∂t−k∇2u=f(x,y,z,t)，Δ=0 属抛物型方程；

3) 泊松方程：∇2u=f(x,y,z,t) 其齐次形式 ∇2u=0 称为拉普拉斯方程。拉普拉斯方程是典型的椭圆型方程。

3. 初始条件和边界条件

正如常微分方程一样，单独的偏微分方程是不能定解的；需要构成定解问题，还需要初始条件和边界条件的加持：或者需要给出一定个数的初始条件，或者需要给出一定个数的边界条件，或者给出由初始条件和边界条件构成的混合条件。

边界条件

边界条件规定了未知量 u 在偏微分方程边界上的取值/偏导数等信息。如果 u 的偏微分方程的区域关于自变量x的边界是x=x1和x=x2（对于二维区域来说，说明该区域夹在两条平行线间；对于三维区域，则夹在两个平面间），那么下式：

u(x,y)|x=x1=u1(y),u(x,y)|x=x2=u2(y)

就构成了一组边界条件。

一般地说，边界面的形状记作Σ，则比如：

1) 第一类边界条件——狄利克雷(Dirichlet)条件（给出未知量取值）：u(x,y)|Σ=ϕ(x,y)

2) 第二类边界条件——诺伊曼(Neumann)条件（给出未知量的偏导数值）：∂u(x,y)∂n=ψ(x,y)

3) 第三类边界条件——斯托克斯(Stokes)条件（给出未知量取值和偏导数的线性叠加）：αu(x,y)|Σ+β∂u(x,y)∂n=γ(x,y)

边界条件的类型非常丰富，只要是给出未知量在边界上行为的条件都是边界条件，一些常用但比较特别的比如：

a) 规定无穷远处未知量u为零：limr→∞u(x,y)=0,r=x2+y2−−−−−−√；

b) 或者正则条件，给出未知量在无穷远处的行为或渐近形式：u(r)∼1r

b) 规定某点处未知量u有界：u(x0,y0)有界

初始条件

初始条件规定了未知量 u 在某个独立变量取特定值时的取值/偏导数值等信息。比如关于独立变量x,y的未知量u(x,y)：

u(x,y)|x=x0=u0(y),∂u∂x|x=x0=f(y)

就构成了初始条件。有时，初始条件给出的也是一个变量处在边界上的情形，实际上也可以理解为一种边界条件，但是初始条件是“单边条件”，即只给出一个变量在一个点的值，而不会给出在整个边界上的信息，因此二者很容易区分。

初始条件得名的原因是，给出初始条件往往是对于时间变量t，其物理意义为初始时刻系统的状态。